Archivio mensile:aprile 2019

L’incompletezza Gödeliana, che göduria!


Nell’articolo precedente ho esposto alcune limitazioni della logica, strumento principe utilizzato dalla mente occidentale per effettuare ogni tipo di valutazione; voglio adesso giocare il carico da dieci.

Non intendo tediarti con pesanti disquisizioni matematiche, impresa che peraltro non sarei in grado di portare avanti in modo rigoroso, quindi rimarrò sul piano metaforico: supponiamo che tu sia invitato ad una festa organizzata da un amico, il quale ti ha informato che saranno presenti sei uomini e quattro donne, tu e lui compresi.

Da questa informazione iniziale puoi dedurne altre:

  • in totale sarete in dieci
  • i maschi saranno meno delle femmine
  • non è vero che le femmine saranno più dei maschi
  • non sarà possibile effettuare balli di coppia senza lasciar fuori qualche maschio
  • ecc.

Ovviamente le deduzioni hanno valore fintanto che la proposizione iniziale rimane vera: assumendo che il tuo amico sia affidabile, ti senti di poter mettere tranquillamente la mano sul fuoco circa la validità delle tue deduzioni: è un po’ come se tutte quelle informazioni fossero già implicitamente presenti nella prima.

Ebbene, tutta la matematica ragiona così: esistono poche informazioni iniziali, assunte per vere data la loro ovvietà (ma già qui si potrebbe discutere), e a partire da queste si costruisce l’enorme impianto teorico che poi ci viene freddamente propinato sui banchi di scuola.

Si parte dunque da un limitato insieme di enunciati (“saranno presenti sei uomini e quattro donne”), su questi si applicano delle regole per derivarne altri (“i maschi saranno meno delle femmine”), e poi si usano gli strumenti della logica per capire se sono veri o falsi.

Detto in altri termini, a partire da un insieme di affermazioni iniziali (e una serie di regole combinatorie) puoi derivarne un insieme più grande; tutte saranno valide dal punto di vista lessicale, ma solo alcune saranno vere (ad esempio, “le femmine saranno più dei maschi” è valida dal punto di vista lessicale, ma non vera in base all’assunto di partenza).

I matematici fino ai primi del novecento avevano un obiettivo ambizioso e, visto col senno di poi, presuntuoso: fissare un numero di affermazioni iniziali ritenute vere senza bisogno di dimostrazione perché ovvie (assiomi) e su queste costruire tutto l’impianto teorico della matematica; il capofila di questa missione era il tedesco David Hilbert.

Ma ecco improvvisa la doccia fredda, come un fulmine a ciel sereno; nel 1929 un altro matematico tedesco (Kurt Gödel, il mio mito) se ne esce fuori col suo teorema di incompletezza che sancisce in modo definitivo: non è proprio il caso di sbattersi ulteriormente nell’impresa, perché è logicamente impossibile!

Curioso vero? I limiti della logica dimostrati usando la logica stessa.

Insomma, Gödel dimostra che non è possibile, nemmeno in linea di principio, stabilire un elenco di affermazioni iniziali dalle quali poi si possano dedurre la verità o falsità di tutte le altre: esisterà sempre un’affermazione che sappiamo essere vera ma senza poterlo dimostrare!

Come facciamo allora a sapere che è vera? Perché usiamo informazioni aggiuntive che non appartengono all’elenco di partenza, e quindi “vediamo” cose che il sistema di affermazioni e deduzioni non “vede”; noi osserviamo la questione “dal di fuori”: ecco i vantaggi dell’essere distaccati.

Beh, dirai, ma allora è semplice: basta aggiungere questa affermazione mancante all’elenco, ed ecco che tutto va a posto…

Eh no, controbatte l’amico Kurt: è sempre possibile trovare un’altra affermazione, sintatticamente valida, di cui non si riesce a dimostrare la verità restando entro i limiti del sistema di assiomi, ma che noi sappiamo essere vera.

Non so se mi hai seguito fino in fondo, ma la portata di tutto questo è eccezionale!

Intanto dimostra che la nostra intelligenza va oltre la logica, perché riesce a vedere realtà non raggiungibili da una fredda sequenza di deduzioni; in secondo luogo ci tranquillizza su catastrofici scenari futuri nei quali i computer prendono il sopravvento: finché si baseranno su ferree procedure booleane rimarranno dei meri, stupidi servitori.

Ma soprattutto evidenzia che l’essere umano è dotato di un dono, la creatività, che va oltre ogni logica (per l’appunto!).

Ciò che più mi fa riflettere su tutto questo è il modo in cui Gödel è riuscito a dimostrare il suo teorema; non ho le conoscenze né le capacità per spiegartelo in modo rigoroso, ma ha a che fare con l’autoreferenzialità: è riuscito a trovare, usando le regole del sistema, un’affermazione che parla di sé stessa (alla guisa della famosa citazione di Parmenide “questa frase è falsa”).

Questa situazione circolare ha mandato in tilt il sistema dimostrandone la debolezza, un po’ come un programma per computer che entra in loop bloccandosi; eppure, per arrivare a dimostrare questo, noi esseri umani siamo in qualche modo in grado di aggirare queste limitazioni… e mi piace pensare che è proprio in questa sorta di capacità di essere autoreferenziali che risiede la nostra potenza!

L’auto coscienza, l’auto osservazione, la consapevolezza di sé è lo strumento per mandare in tilt gli auto… matismi (!) e prendere finalmente il controllo della nostra vita, affrancandoci dalla schiavitù dei programmi mentali che ci hanno installato nel tempo attraverso l’educazione.

Temi forse che questo ti possa condurre alla pazzia? Il rischio è concreto, finché rimani aggrappato alle certezze della logica…

Il paradosso di Zenone


Ne esistono svariati, quello di cui voglio qui parlarti riguarda il movimento e argomenta che per spostarsi da un punto A ad un punto B, percorrendo un segmento di lunghezza finita, occorre per forza di cose passare per un punto intermedio, chiamiamolo C.

Ma prima di arrivare in C occorrerà passare per il punto intermedio che lo separa da A, chiamiamolo D. Prima di arrivare in D bisogna passare per il punto intermedio E, e così via all’infinito, perché questa iterazione si può operare un numero arbitrario di volte, ad libitum.

Ne consegue che prima di raggiungere B bisogna percorrere un numero infinito di segmenti sempre più piccoli di lunghezza finita, pertanto non si potrà mai raggiungere la meta: il movimento è, secondo questo modo di vedere, impossibile, perché la somma di infiniti pezzettini, per quanto piccoli, è un numero infinito.

L’evidenza dei fatti suggerisce il contrario, ed infatti parecchi anni dopo Newton e Leibniz sveleranno l’arcano con l’introduzione del calcolo infinitesimale: una somma infinita di segmenti sempre più piccoli può essere finita, se la “velocità” con cui si riducono i segmenti è tale da contrastare la “velocità” con cui il loro numero cresce.

Per fortuna in questo intervallo di tempo, durato secoli, nessuno si è sognato di rimanere immobile in attesa che un rinnovato impianto teorico rendesse possibile il movimento: forse perché in pochi erano a conoscenza del problema.

Ma non mi interessa qui tanto l’oggetto dell’argomentazione in sé, quanto le sue implicazioni pratiche: ovviamente nessuno è così folle da non muoversi solo perché un ragionamento logico afferma che non è possibile… ma l’assurdità, in questo caso specifico, è particolarmente evidente.

Nella realtà dei fatti osservo quotidianamente attorno a me immobilità di ogni genere, basate su argomentazioni mentali molto simili a quella che ti ho esposto, anche se meno palesi nel loro essere prive di fondamento.

La mente è abilissima a dimostrarci impossibilità di ogni tipo, basandosi per l’appunto su ragionamenti logico deduttivi: è impossibile trovare lavoro, è impossibile passare l’esame, è impossibile arrivare ad una soluzione… e noi ci crediamo ciecamente, senza sottoporre a verifica alcunché, quando a volte sarebbe sufficiente andare contro, e provare: muovere un passo e dimostrare a sé stessi che si è spesso di fronte solo ad un vincolo mentale.

Il pensiero logico nella nostra cultura viene idolatrato, ma non è in grado di spiegare la realtà: si basa su strumenti provenienti dal passato e per forza di cose ignora quelli futuri (come il calcolo infinitesimale dell’esempio citato); il mondo è molto più ricco e articolato di quanto la nostra mente, nella sua infinita presunzione, vorrebbe farci credere; pertanto esiste un’unica, vera fonte di conoscenza: l’esperienza.

Come diceva Einstein, chi dice che è impossibile non dovrebbe disturbare chi ce la sta facendo.

Per sottrazione


Io non sono il mio nome.

Non sono lo sviluppatore software.

Non sono il marito, non sono il padre.

Non sono colui che scrive in un blog poco conosciuto, non sono l’appassionato di ciclismo, non sono il podista dilettante.

Non sono l’amico su cui puoi contare, non sono la persona inaffidabile che dice bugie.

Io non sono lo studente modello, né il lavoratore serio, né il pasticcione distratto che dimentica le cose e talvolta combina guai.

Non sono l’improvvisato strimpellatore di chitarra, né il canterino dalla voce incostante che ama esibirsi al karaoke così, tanto perché qualcuno gli presti attenzione.

Non sono i muscoli doloranti dopo un pesante allenamento, non sono le mani che tremano prima di una prova, non sono il cuore che si restringe dopo un dispiacere.

Non sono chi ha bisogno di sentirsi dire ‘bravo’, che cerca l’approvazione altrui per sentirsi a posto.

Non sono quel naso pronunciato, né quella nuca sfuggente; non sono quel paio di occhiali tanto temuti in gioventù, né quei capelli che iniziano ad ingrigire.

Non sono chi ama produrre manufatti in legno, non sono lo psico filosofo.

Non sono l’amante della montagna, né il sognatore perso davanti alla vastità del mare.

Già, il mare.

Neppure il mare è l’onda, nessuna di quelle migliaia di onde che lo increspano, lo rendono armonioso, talvolta temibile, minaccioso: il mare è lo spazio che permette all’onda di esistere.

Io non sono questo o quello. Io semplicemente sono, senza necessità di completare con alcuna connotazione positivista.

Sono lo spazio delle possibilità entro cui si concretizzano quelle manifestazioni accidentali che costruiscono una personalità illusoria.

Io sono il vuoto, e a questo voglio ritornare, perché questo è il mio senso di esistere.

A me che sono, semplicemente sono.